Tabla Z — Distribución normal estándar

Cómo leer la tabla

1. Redondea tu valor z a dos decimales. Por ejemplo, z = 1,27.
2. Busca la fila que coincide con el primer decimal — para 1,27 es la fila 1,2.
3. Busca la columna que coincide con el segundo decimal — para 1,27 es la columna 0,07.
4. La celda es Φ(z), el área bajo la normal estándar a la IZQUIERDA de tu z. Para z = 1,27, Φ(1,27) = 0,8980 — el 89,80% de la distribución queda por debajo de 1,27.
5. Para el área a la DERECHA, resta de 1: 1 − 0,8980 = 0,1020 (10,20%).
6. Para una z entre dos valores (área de dos colas), resta: Φ(1,96) − Φ(−1,96) = 0,9750 − 0,0250 = 0,9500 (95%).

Tabla normal estándar — z positiva (0,00 a 3,09)

Celda = Φ(z) = área bajo la curva normal estándar a la izquierda de z. La fila es el dígito de las décimas; la columna es el de las centésimas.

Tabla normal estándar — z negativa (−0,00 a −3,09)

Mismo formato, con valores z negativos. Como la normal es simétrica, Φ(−z) = 1 − Φ(z) — así que si solo tienes la tabla positiva, puedes calcular cualquier valor negativo restando el positivo de 1.

Los valores críticos que todo el mundo memoriza

Los dos más citados: 1,96 es el número del «intervalo de confianza al 95%» para una prueba z (dos colas), y 1,645 es el corte al 95% de una sola cola. Ambos son aproximaciones — 1,96 es en realidad 1,959964… — pero la tabla de cuatro decimales de arriba los deja limpios.

De percentil a z — los percentiles más usados

La consulta inversa, ya calculada. Un percentil es un área a la izquierda, así que el percentil 90 es la z con Φ(z) = 0,90. Los percentiles bajos son los mismos números con signo menos, porque la curva es simétrica.

La regla empírica 68-95-99,7 es esta misma tabla leída como intervalos: el 68,27% de los valores cae a ±1σ de la media (Φ(1) − Φ(−1)), el 95,45% a ±2σ y el 99,73% a ±3σ. Es la comprobación rápida para cualquier z que calcules: un valor más allá de ±3 aparece solo unas 3 veces de cada 1000.

Ejemplos resueltos — de z a percentil, entre dos valores y al revés

Los cuatro usan el mismo planteamiento: las notas de un examen siguen una distribución normal con media μ = 70 y desviación estándar σ = 10.

1. Percentil de una nota (z → área). Un 85 da z = (85 − 70) / 10 = 1,50. Fila 1,5, columna 0,00 → 0,9332: esa nota supera al 93,32% de los examinados, más o menos el percentil 93.
2. Proporción por encima de una nota (cola derecha). Para 90, z = (90 − 70) / 10 = 2,00 → 0,9772. La tabla da el área por debajo, así que la proporción por encima es 1 − 0,9772 = 0,0228: el 2,28% saca más de 90.
3. Proporción entre dos notas. De 60 a 85: z = −1,00 → 0,1587 y z = 1,50 → 0,9332. Resta el menor del mayor: 0,9332 − 0,1587 = 0,7745, o sea que el 77,45% saca entre 60 y 85.
4. Nota para un percentil (área → z, la consulta inversa). El corte del 20% superior deja el 80% por debajo, así que busca 0,8000 dentro de la tabla. Las celdas más cercanas son 0,7995 (z = 0,84) y 0,8023 (z = 0,85); 0,84 está más cerca (el valor exacto es 0,8416). La nota de corte es x = μ + zσ = 70 + 0,84 × 10 = 78,4.

Más allá de z = 3,09 — las colas extremas

La tabla de cuatro decimales se aplana cerca de 0,9990 porque el área que queda es diminuta — pero no es cero, y en control de calidad, detección de fraude o de anomalías la cola es justo lo que importa. Pasado 3,09, lee la columna de la cola derecha: es la probabilidad de un valor al menos a esa cantidad de desviaciones estándar por encima de la media.

La fila 4,5 es el origen del famoso «3,4 defectos por millón» de Seis Sigma: el método supone que un proceso se desplaza 1,5σ a largo plazo, seis sigma menos ese desplazamiento deja 4,5σ, y la cola de un solo lado más allá de 4,5 es 3,4 por millón. Duplica la cola derecha para una pregunta de dos lados («a más de 3σ de la media en cualquier dirección» es 2 × 0,00135 = 0,0027).

Errores comunes al leer la tabla z

Calcular una z sin tabla

El z-score en sí:
z = (x − μ) / σ

x = el valor bruto, μ = media, σ = desviación estándar.

Excel y Google Sheets — Φ(z), el área a la izquierda:
=DISTR.NORM.ESTAND.N(z; VERDADERO)     → Φ(z)
=DISTR.NORM.N(x; μ; σ; VERDADERO)      → área a la izquierda de x para cualquier normal

Inverso (percentil → z):
=INV.NORM.ESTAND(0,95)                 → 1,6449 (el z crítico del 95% a una cola)
=INV.NORM(0,95; μ; σ)                  → el valor x para cualquier normal

Python (scipy):
from scipy.stats import norm
norm.cdf(1.27)          # 0.8980
norm.ppf(0.95)          # 1.6449

La calculadora de z-score de este sitio hace el paso (x − μ) / σ para un solo valor o una lista entera, y la de estadísticas descriptivas calcula μ y σ desde datos brutos — juntas cubren el flujo «tengo números, dame la z» antes incluso de que necesites esta tabla.